푸아송 다양체

미분기하학에서 푸아송 다양체(Poisson多樣體, 영어: Poisson manifold)는 푸아송 괄호를 정의할 수 있는 심플렉틱 다양체의 일반화이다. 심플렉틱 다양체와 달리 괄호가 일부 점에서 퇴화할 수 있다.

정의

푸아송 다양체의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

푸아송 괄호를 통한 정의

체 $K$ 위의 가환 결합 대수 $A$ 위의 푸아송 괄호(Poisson括弧, 영어: Poisson bracket)는 다음 조건을 만족시키는 $K$-리 대수 구조이다.

• 임의의 $a\in A$에 대하여, $(A,\{a,-\})$는 $K$-미분 대수이다. 즉, 다음 곱 규칙이 성립한다.

  $\{a,bc\}=\{a,b\}c+b\{a,c\}\qquad \forall a,b,c\in A$

푸아송 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 다양체 $M$
• 실수 가환 결합 대수 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$ 위의 푸아송 괄호 $\{,\}$

푸아송 다양체 $(M,\{,\})$ 위에서, 임의의 $f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$에 대하여 $\{f,-\}$는 $M$ 위의 벡터장을 이루며, 이러한 꼴의 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 한다. $X=\{f,-\}$라면 $f$를 $X$의 해밀토니언(영어: Hamiltonian)이라고 한다.

리 대수 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$의 중심의 원소, 즉 모든 함수와의 푸아송 괄호가 0인 함수를 카시미르 함수라고 한다. (이는 0차 푸아송 코호몰로지에 해당한다.)

텐서장을 통한 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 푸아송 텐서장(Poisson tensor場, 영어: Poisson tensor field) $\pi$는 다음 조건을 만족시키는 (2,0)차 텐서장이다.

• (반대칭성) $\pi ^{ij}=\pi ^{ji}$
• (멱영성) $[\pi ,\pi ]=0$. 여기서 $[-,-]$는 스하우턴-네이엔하위스 괄호이다.

구체적으로, 이 경우 푸아송 괄호는

$\{f,g\}=\pi (\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)\qquad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )$

의 꼴로 주어진다.

여기서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호가 0이 되는 것은 야코비 항등식에 해당하며, 구체적으로 다음과 같다.

$\pi ^{[i|l}\partial _{l}\pi ^{|jk]}=0$

여기서 $[...]$는 지표 $i,j,k$의 완전 반대칭화를 뜻한다. 즉,

$\pi ^{il}\partial _{l}\pi ^{jk}+\pi ^{jl}\partial _{l}\pi ^{ki}+\pi ^{kl}\partial _{l}\pi ^{ij}=0$

이다.

리 준대수를 통한 정의

푸아송 다양체는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 매끄러운 다양체 $M$
• $\mathrm {T} ^{*}M$ 위의 리 준대수 구조 $\sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M$. 이 경우, 리 괄호는 다음과 같다.

  $[\alpha ,\beta ]={\mathcal {L}}_{\sharp \alpha }\beta -{\mathcal {L}}_{\sharp \beta }\alpha -\mathrm {d} \langle \sharp \alpha ,\beta \rangle \in \Omega ^{1}(M)\qquad \forall \alpha ,\beta \in \Omega ^{1}(M)$

여기서 ${\mathcal {L}}$은 1차 미분 형식의 리 미분이다.

이 정의에서의 $\sharp$는 음악 동형을 통해 푸아송 텐서장 $\pi$와 같은 데이터를 정의한다.

$\sharp \colon \mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M$

$\sharp \colon \alpha \mapsto \pi (\alpha ,-)$

이는 리만 다양체나 심플렉틱 다양체의 음악 동형과 유사하지만, 한 방향으로만 가며, 일반적으로 벡터 다발의 동형 사상이 아니다. (즉, $\flat \colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M$ 사상이 표준적으로 존재하지 않는다.)

푸아송 사상

두 푸아송 다양체 $(M,\{,\}_{M})$, $(N,\{,\}_{N})$ 사이의 푸아송 사상(Poisson寫像, 영어: Poisson map) $\phi \colon M\to N$은 매끄러운 함수 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것이다.

$\{f,g\}_{N}\circ \phi =\{f\circ \phi ,g\circ \phi \}_{M}\qquad \forall f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N,\mathbb {R} )$

푸아송 텐서장으로는

$\pi _{N}\circ \phi =\phi _{*}\pi _{M}\in \Gamma ^{\infty }\left(\bigwedge ^{2}\phi ^{*}\mathrm {T} N\right)$

이어야 한다. 여기서 $\phi _{*}$는 (2,0)차 텐서장의 밂이다.

푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주를 $\operatorname {PoissDiff}$라고 표기하자.

푸아송 사상 가운데 미분 동형 사상을 이루는 것을 푸아송 미분 동형 사상(Poisson微分同形寫像, 영어: Poisson diffeomorphism, ichthyomorphism)이라고 한다. 이는 $\operatorname {PoissDiff}$의 동형 사상이다.

성질

푸아송 다양체 $M$의 부분 다양체 (즉, 매끄러운 단사 몰입) $\iota \colon C\hookrightarrow M$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 푸아송 부분 다양체(영어: Poisson submanifold)라고 한다.

• $\iota$를 푸아송 사상으로 만드는 $C$ 위의 푸아송 구조가 하나 이상 존재한다.
• $\iota$를 푸아송 사상으로 만드는 $C$ 위의 푸아송 구조가 유일하게 존재한다.
• 임의의 $f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$에 대하여, 만약 $f\upharpoonright C=0$이라면, $\{f,g\}\upharpoonright C=0$이다. (즉, $\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\colon f\upharpoonright C=0\}$는 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$의 리 대수 아이디얼을 이룬다.)

푸아송 다양체 $M$의 모든 열린집합은 푸아송 다양체이다. 푸아송 다양체의 닫힌집합이 푸아송 다양체가 될 필요 충분 조건은 심플렉틱 잎들의 합집합인 것이다.

심플렉틱 다양체의 푸아송 부분 다양체는 열린집합 밖에 없다.

공등방성 부분 다양체

매끄러운 다양체 $M$의 부분 다양체 $C\hookrightarrow M$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $C$의 쌍대 법다발(영어: conormal bundle)은 다음과 같다.

$\mathrm {N} ^{*}C=\{\alpha \in \mathrm {T} ^{*}M\colon \langle \alpha ,v\rangle =0\;\forall v\in \mathrm {T} C\}\subseteq \mathrm {T} ^{*}M$

이제, $(M,\pi )$이 푸아송 다양체의 구조를 지녔다고 하자. 그렇다면, 부분 다양체에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 다양체를 공등방성 부분 다양체(共等方性部分多樣體, 영어: coisotropic submanifold)라고 한다.

• $\sharp (\mathrm {N} ^{*}C)\subseteq \mathrm {T} C$
• 임의의 $f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )$에 대하여, 만약 $f\upharpoonright C=g\upharpoonright C=0$이라면, $\{f,g\}\upharpoonright C=0$이다. (다시 말해서, $\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\colon f\upharpoonright C=0\}$는 ${\mathcal {C}}^{\infty }(M,\mathbb {R} )\}$의 부분 리 대수이다.)

정의에 따라서 (즉, 모든 리 대수 아이디얼이 부분 리 대수이므로), 모든 푸아송 부분 다양체는 공등방성 부분 다양체이지만, 그 역은 일반적으로 거짓이다.

푸아송 사상

세 푸아송 다양체 $M$, $N$, $P$ 사이의 매끄러운 함수 $f\colon M\to N$, $g\colon N\to P$가 주어졌다고 하자.

• 만약 $f$와 $g$가 푸아송 사상이라면 $g\circ f$ 또한 푸아송 사상이다.
• 만약 $f$가 전사 함수인 푸아송 사상이며 $g\circ f$도 푸아송 사상이라면, $g$ 역시 푸아송 사상이다.

특히, 미분 동형인 푸아송 사상의 역함수는 푸아송 사상이다.

유한 차원 실수 리 대수 사이의 리 대수 준동형 $\phi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$이 주어졌을 때,

$\phi ^{\vee }\colon {\mathfrak {h}}^{\vee }\to {\mathfrak {g}}^{\vee }$

는 푸아송 사상이다. 여기서 $(-)^{\vee }$는 쌍대 공간이며, 리 대수의 쌍대 공간은 선형 푸아송 다양체로 간주한다.

연산

곱공간

임의의 두 푸아송 다양체 $(M,\pi _{M})$, $(N,\pi _{N})$에 대하여, 곱공간 $M\times N$ 위에 다음과 같은 푸아송 구조를 줄 수 있다.

$\pi ((u,v),(u',v))=\pi _{M}(u,u')+\pi _{N}(v,v')\qquad \forall (x,y)\in M\times N,\;(u,v),(u',v')\in \mathrm {T} _{(x,y)}M\times N=\mathrm {T} _{x}M\oplus \mathrm {T} _{y}N$

이는 푸아송 다양체의 범주의 곱이다. 특히, 사영 사상

$\operatorname {proj} _{1}\colon M\times N\to M$

$\operatorname {proj} _{2}\colon M\times N\to N$

역시 푸아송 사상을 이룬다.

분리합집합

임의의 푸아송 다양체들의 집합 $(M_{i})_{i\in I}$에 대하여, 분리합집합 $\textstyle \bigsqcup _{i\in I}$ 위에는 표준직언 푸아송 구조가 존재한다. 이는 푸아송 다양체의 범주의 쌍대곱이다.

시작 대상과 끝 대상

푸아송 다양체의 범주의 시작 대상은 공집합 $\varnothing$이며, 푸아송 다양체의 범주의 끝 대상은 한원소 공간 $\{\bullet \}$이다. 즉, 임의의 푸아송 다양체 $M$에 대하여 유일한 두 함수

$\varnothing \to M$

$M\to \{\bullet \}$

는 각각 푸아송 사상을 이룬다.

망각 함자

푸아송 다양체와 푸아송 사상의 범주는 매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주로 가는 망각 함자를 갖는다.

$\operatorname {PoissDiff} \to \operatorname {Diff}$

반대로, 매끄러운 다양체에 값이 0인 상수 함수 푸아송 괄호를 부여하는 다음과 같은 포함 함자 역시 존재한다.

$\operatorname {Diff} \hookrightarrow \operatorname {PoissDiff}$

$M\mapsto (M,0)$

그러나 이는 망각 함자와 수반 함자 관계를 갖지 않는다.

모든 심플렉틱 다양체는 푸아송 다양체로 간주될 수 있지만, 심플렉틱 다양체와 심플렉틱 사상의 범주 $\operatorname {SympDiff}$에서 푸아송 다양체의 범주로 가는 망각 함자는 존재하지 않는다. 예를 들어, 두 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{2}$, $\mathbb {R} ^{4}$에 표준적인 심플렉틱 형식을 부여했을 때, 심플렉틱 사상 $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}$은 무한히 많이 존재하지만, 푸아송 사상 $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{4}$는 존재하지 않는다. 이는 심플렉틱 사상은 (0,2)차 텐서의 당김으로 정의되지만, 푸아송 사상은 (2,0)차 텐서의 밂으로 정의되기 때문이다.

분류

심플렉틱 다양체의 침몰로의 표현

푸아송 다양체 $M$의 심플렉틱 실현(symplectic實現, 영어: symplectic realization)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 심플렉틱 다양체 $N$
• 전사 함수이자 침몰인 푸아송 사상 $\phi \colon N\to M$

모든 푸아송 다양체는 하나 이상의 심플렉틱 실현을 갖는다.

심플렉틱 잎

푸아송 다양체 $M$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 두 점 $x$, $y$ 사이에 다음 조건을 만족시키는 조각별 매끄러운 곡선 $\gamma \colon [a_{0},a_{N}]\to M$이 존재한다면, $x\sim y$라고 하자.

• $\gamma (a_{0})=x$
• $\gamma (a_{N})=y$
• $\gamma$의 각 매끄러운 조각은 해밀턴 벡터장의 궤적이다. 즉, 각 매끄러운 조각 $\gamma _{i}\colon [a_{i},a_{i+1}]\to M$에 대하여, ${\dot {\gamma }}_{i}(t)=\{h_{i}(\gamma _{i}(t)),-\}\in \mathrm {T} _{\gamma _{i}(t)}M$이 되는 매끄러운 함수 $h_{i}\colon M\to \mathbb {R}$가 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.^{:528, Proposition 1.3}

• $\sim$은 동치 관계를 이룬다.
• $\sim$의 각 동치류는 $M$의 부분 매끄러운 다양체를 이루며, 이는 연결 공간이다.
• 푸아송 구조 $\pi$를 $\sim$의 동치류 $\iota _{i}\colon M_{i}\hookrightarrow M$에 제한하여 얻어지는 푸아송 다양체는 사실 심플렉틱 다양체를 이룬다. 이를 $M$의 심플렉틱 잎(영어: symplectic leaf)이라고 한다.
• 심플렉틱 잎 $M_{i}$의 임의의 점 $x\in M_{i}$에 대하여, $\operatorname {rank} \pi |_{x}=\dim M_{i}$이다. 특히, $\operatorname {rank} \pi$는 각 심플렉틱 잎 위에서 상수 함수이다.

다시 말해, 푸아송 다양체를 서로 다른 차원일 수 있는 심플렉틱 다양체들을 짜깁기하여 얻는 공간으로 여길 수 있다. 심플렉틱 잎의 포함 사상은 항상 푸아송 사상이다.

국소 구조

$n$차원 푸아송 다양체 $M$의 임의의 점 $x_{0}\in M$이 주어졌을 때, $x$의 충분히 작은 근방에 다음과 같은 국소 좌표계

$(q_{1},q_{2},\dotsc ,q_{r},p_{1},p_{2},\dotsc ,p_{r},c_{1},\dotsc ,c_{n-2r})$

를 항상 찾을 수 있다.^{:Theorem 2.1}

$\{q_{i},q_{j}\}=\{p_{i},p_{j}\}=\{q_{i},c_{k}\}=\{p_{i},c_{k}\}=0$

$\{q_{i},p_{j}\}=\delta _{ij}$

$\{c_{k},c_{l}\}(x_{0})=0$

즉, 이는 국소적으로 어떤 $2r$차원 심플렉틱 다양체 $S$와 푸아송 다양체 $N$의 곱공간으로 표현되며, 이 경우 $N$의 푸아송 구조는 $x_{0}$(의 상)에서 계수가 0이다. 또한, 이러한 $(S,N)$은 국소 동형 아래 유일하다. (물론, 심플렉틱 다양체인 $S$는 다르부 정리에 의하여 국소적으로 자명하다.) (다만 이러한 부분 다양체 $N$는 표준적으로 주어지지 않는다.) 즉, 푸아송 다양체의 국소적 구조의 연구는 국소 계수 0의 푸아송 다양체의 연구로 귀결된다.

푸아송 다양체 $N$의 점 $x_{0}\in N$에서, 푸아송 구조의 계수가 0이라고 하자. 그렇다면, 리 대수

${\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )$

의 부분 리 대수

${\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )=\{f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )\colon f(x_{0})=0\}$

의 다음과 같은 리 대수 아이디얼을 생각할 수 있다.

${\mathfrak {m}}=\{f\in {\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )\colon \partial _{i}\partial _{j}f(x_{0})=0\}$

이에 따라, 공변접공간

$\mathrm {T} _{x_{0}}^{*}N={\frac {{\mathcal {C}}_{0,x_{0}}^{\infty }(N;\mathbb {R} )}{\mathfrak {m}}}$

위에 리 대수 구조가 주어진다. 이에 따라, 접공간 $\mathrm {T} _{x_{0}}N$ 위에는 자연스럽게 리-푸아송 구조가 존재한다. 이를 $N$의 $x_{0}\in N$에서의 선형 근사(線型近似, 영어: linear approximation)라고 한다.^{:535–536, §4} 이는 대략 $x_{0}$ 근처에서, 푸아송 괄호의 2차 이상 항들을 버린 것으로 여길 수 있다.

예

자명한 푸아송 다양체

임의의 매끄러운 다양체 $M$ 위의 매끄러운 함수 공간에 아벨 리 대수의 구조를 주면 ($\{f,g\}=0$), 이는 푸아송 구조를 이룬다. 이는 자명한 푸아송 텐서장 $\pi =0$에 해당한다. 리 준대수로서, 이는 아벨 리 준대수(즉, 리 괄호가 모두 0인 것)에 해당한다.

이 경우, 심플렉틱 잎들은 한원소 공간들이다.

2차원 이하 푸아송 다양체

매끄러운 다양체 $M$의 차원이 2 이하라고 하자. 이 경우, $M$ 위의 임의의 반대칭 (2,0)차 텐서는 푸아송 구조를 이룬다.

1차원 이하의 경우 반대칭 (2,0)차 텐서는 0 밖에 없으며, 이 경우 각 점이 0차원 심플렉틱 잎을 이룬다.

2차원 푸아송 다양체 $(M,\pi )$의 심플렉틱 잎들은 다음과 같다.

• 2차원 잎들은 $\{x\in M\colon \pi _{x}\neq 0\}$의 연결 성분이다. 이들은 2차원 심플렉틱 다양체를 이룬다.
• 0차원 잎들은 $\{x\in M\colon \pi _{x}=0\}$의 점들이다.

심플렉틱 다양체

심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$가 주어졌을 때, 푸아송 괄호

$\{f,g\}=\omega ^{-1}(\mathrm {d} f,\mathrm {d} g)$

를 정의하면, 이는 푸아송 다양체를 이룬다.

이 경우, 심플렉틱 잎들은 $M$의 연결 성분들이다.

선형 푸아송 다양체

유클리드 공간 $V=\mathbb {R} ^{n}$ 및 $V^{*}$ 위의 임의의 반대칭 쌍선형 형식 $\pi (-,-)$을 고르자. 그렇다면, 모든 점 $x\in V$에서 $\mathrm {T} _{x}V=V$이므로, $(V,\pi )$는 푸아송 다양체를 이룬다.

실수 선형 변환 $\pi ^{\#}\colon V^{*}\to V$의 계수가 $2r$라고 하자. 그렇다면, $V$의 적절한 기저

$(x_{1},\dotsc ,x_{n})\subseteq V$

및 그 쌍대 기저

$(x^{1},\dotsc ,x^{n})\subseteq V^{*}$

에 대하여,

$\pi \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i},\sum _{j=1}^{n}b_{j}x^{j}\right)=\sum _{i=1}^{r}(a_{2i-1}b_{2i}-a_{2i}b_{2i-1})$

가 되게 할 수 있다. 이 경우, $x_{2r+1},\dotsc ,x_{n}$에만 의존하는 임의의 함수는 카시미르 함수를 이룬다. 심플렉틱 잎들은 각

$c\in \operatorname {Span} \{x_{2r+1},\dotsc ,x_{n}\}$

에 대하여

$\mathbb {R} ^{2r}\times \{c\}$

의 꼴이다. 특히, 만약 $n=2r$일 경우 이는 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.

리 대수의 쌍대 공간

 이 부분의 본문은 리-푸아송 구조입니다.

유한 차원 실수 리 대수 $({\mathfrak {g}},[,])$의 쌍대 공간 ${\mathfrak {g}}^{*}$ 위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 정의하자. 임의의 $f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }({\mathfrak {g}}^{*};\mathbb {R} )$ 및 $x\in {\mathfrak {g}}^{*}$에 대하여,

$\{f,g\}(x)=x([\mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)])$

여기서

$\mathrm {d} f(x),\mathrm {d} g(x)\in \mathrm {T} _{x}^{*}{\mathfrak {g}}^{*}\cong {\mathfrak {g}}$

이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다. 이러한 푸아송 괄호를 리-푸아송 구조(영어: Lie–Poisson structure)라고 한다.

리 지수 사상에 따라 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {lie}}(G)$가 되는 단일 연결 리 군 $G$를 정의하자. 그렇다면, ${\mathfrak {g}}^{*}$는 물론 리 군 $G$의 표현을 이룬다. ${\mathfrak {g}}^{*}$의 심플렉틱 잎들은 ${\mathfrak {g}}^{*}$ 속의, $G$에 대한 궤도에 해당한다. 이를 쌍대딸림표현 궤도(영어: coadjoint orbit)라고 한다.

예를 들어, ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {o}}(3)$(3차원 직교군의 리 대수)라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. (${\mathfrak {g}}$가 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식 $B(-,-)$에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.

$\mathbb {S} _{r}^{2}=\{v\in {\mathfrak {g}}\colon |B(v,v)|=r^{2}\}\qquad (r\in [0,\infty ))$

즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 $r$의 구이다. $r>0$일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, $r=0$일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다.

리 대수의 족

실수 $t\in \mathbb {R}$에 의존하는, 다음과 같은 실수 리 대수의 족을 생각하자.^{:550–551, §11.A}

${\mathfrak {g}}_{t}=\operatorname {Span} _{\mathbb {R} }\{x,y,z\}$

$[x,y]=tz$

$[y,z]=x$

$[z,x]=y$

만약 $t>0$일 때, 이는 $(x,y,z)$의 재정의를 통해 3차원 회전군의 리 대수 ${\mathfrak {o}}(3)$를 이룬다. 만약 $t<0$일 때, 이는 마찬가지로 3차원 로런츠 군의 리 대수 ${\mathfrak {o}}(1,2)={\mathfrak {sl}}(2;\mathbb {R} )$와 동형이다. $t=0$일 때, 이는 유클리드 평면의 등거리 변환군의 리 대수 ${\mathfrak {io}}(2)$와 같다.

이 족을 다음과 같이 푸아송 다양체로 여길 수 있다. 4차원 유클리드 공간

$\mathbb {R} ^{4}=\operatorname {Span} \{x,y,z,t\}$

위에 다음과 같은 푸아송 괄호를 주자.

$\{x,y\}=tz$

$\{y,z\}=x$

$\{z,x\}=y$

$\{t,x\}=\{t,y\}=\{t,z\}=0$

그렇다면, 이는 푸아송 구조를 이룬다.

이 위에는 다음과 같은 두 카시미르 함수가 존재한다.

$t$

$x^{2}+y^{2}+tz^{2}$

이 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎들은 두 함수의 값의 원상으로 정의된다. 즉,

$M_{t,r}=\{(x,y,z,t)\in \mathbb {R} ^{4}\colon x^{2}+y^{2}+tz^{2}=r\}$

의 꼴이다. (다만 일부 경우 이는 연결 성분 또는 특이점으로 인해 추가로 분해될 수 있다.) 구체적으로 이들은 다음과 같다.

카시미르 함수의 값	추가 조건	차원	설명	미분 동형인 다양체
$t\neq 0$, $r=0$	$z=0$	0	한원소 공간 $\{(0,0,0,t)\}$	한원소 공간 $\{\bullet \}$
$t=0$, $r=0$		0	한원소 공간 $\{(0,0,z,0)\}$
$t>0$, $r>0$		2	타원면	구 $\mathbb {S} ^{2}$
$t<0$, $r<0$	$z>0$	2	쌍곡면	평면 $\mathbb {R} ^{2}$
$t<0$, $r<0$	$z<0$	2	쌍곡면
$t<0$, $r>0$		2	쌍곡면	원기둥 $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R}$
$t<0$, $r=0$	$z>0$	2	(꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간의 미래 빛원뿔)
$t<0$, $r=0$	$z<0$	2	(꼭짓점이 없는) 원뿔 (3차원 민코프스키 공간의 과거 빛원뿔)
$t=0$, $r>0$		2	$z$축에 대한 반지름 $r$의 원기둥

국소 선형 모형

다음이 주어졌다고 하자.

• 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$
• 매끄러운 주다발 $G\hookrightarrow P\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,M$
• $P$의 주접속 $\theta \in \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})$

그렇다면,

${\tilde {\theta }}\in \Omega ^{1}(P\times {\mathfrak {g}}^{*})$

${\tilde {\theta }}_{(p,\alpha )}=\langle \alpha ,\theta \rangle$

를 정의할 수 있다. 주접속의 정의에 따라, 이는 $G$의 $P\times {\mathfrak {g}}^{*}$ 위의 오른쪽 군 작용에 대하여 불변이다. 따라서, 사영 사상

$(\pi ,0)\colon P\times {\mathfrak {g}}^{*}\twoheadrightarrow M$

에 대한 당김을 통하여

${\tilde {\omega }}=(\pi ,0)^{*}\omega -\mathrm {d} {\tilde {\theta }}\in \Omega ^{2}(P\times {\mathfrak {g}}^{*})$

를 정의할 수 있다. 이는 $G$-불변인 닫힌 2차 미분 형식이며, 또한 $P\times \{0\}$의 어떤 $G$-불변 근방

$M\times \{0\}\subseteq U\subseteq M\times {\mathfrak {g}}^{*}$

$U\cdot G=U$

에서 비퇴화 이차 형식을 정의한다. 즉, 이는 $U$ 위의 $G$-불변 심플렉틱 다양체 구조를 정의한다. 따라서, 몫공간 $U/G$ 위에는 푸아송 다양체 구조 ${\tilde {\omega }}/G$가 존재한다. 이 구성은 주접속에 의존하지만, 서로 다른 주접속을 사용해도 서로 동형인 푸아송 구조들을 얻는다.^{:Remark 5.17} (그러나 이 동형은 일반적으로 표준적이지 않다.)

이 푸아송 다양체를 주다발 $P$의 국소 선형 모형(局所線型模型, 영어: local linear model)이라고 한다.^:§5.8

역사

시메옹 드니 푸아송의 이름을 땄다. 이 개념은 물리학에서 비롯되었다. 고전 역학에서, 해밀턴 계를 정의하려면 사실 심플렉틱 다양체 대신 푸아송 다양체의 구조만으로 족하다. 즉, 어떤 해밀토니언 함수 $H\colon M\to \mathbb {R}$가 주어졌을 때, 벡터장 $\{H,-\}$은 다양체 $M$ 위의 1차 상미분 방정식을 정의하며, 이는 고전 역학의 해밀턴 방정식(의 일반화)이다.

외부 링크

• Loja Fernandes, Rui; Mărcuț, Ioan (2015년 10월 23일). “Lectures on Poisson geometry” (PDF) (영어). 2018년 7월 15일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 7월 14일에 확인함. 
• “Poisson manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Poisson manifold”. 《nLab》 (영어). 
• “Poisson tensor”. 《nLab》 (영어). 
• “Lie-Poisson structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Linear Poisson structure”. 《nLab》 (영어). 
• “Off-shell Poisson bracket”. 《nLab》 (영어). 
• “Poisson algebra”. 《nLab》 (영어). 
• “Poisson Lie algebroid”. 《nLab》 (영어).